期权定价模型

发表评论
926 views

期权定价模型是一种数学模型，用于根据当前的基础资产价格、期权的行权价格、到期时间和基础资产价格波动率等多种因素，计算出期权的理论价值。常用的期权定价模型包括 Black-Scholes 模型、二叉树模型和蒙特卡罗模拟模型。

Black-Scholes 模型是最常用的期权定价模型之一，由 Fischer Black 和 Myron Scholes 在 1973 年开发。该模型假设基础资产价格遵循几何布朗运动，并且在期权有效期内不会支付任何股息。Black-Scholes 模型考虑了当前基础资产价格、期权行权价格、到期时间、无风险利率和基础资产价格波动率等因素。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option='call'):
    """
    计算欧式期权的 Black-Scholes 价格。
    S: float, 基础资产当前价格
    K: float, 期权行权价格
    T: float, 期权到期时间（年）
    r: float, 无风险利率
    sigma: float, 基础资产价格波动率
    option: str, 期权类型（'call' 或 'put'）
    """
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)

    if option == 'call':
        price = S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    elif option == 'put':
        price = K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
    else:
        raise ValueError("Invalid option type. Must be 'call' or 'put'.")

    return price

二叉树模型是另一种常用的期权定价模型，它使用基于格的方法来模拟基础资产的价格变化。相比 Black-Scholes 模型，二叉树模型更加灵活，可以处理具有提前行权功能和分红的资产。二叉树模型也考虑了当前基础资产价格、期权行权价格、到期时间、无风险利率和基础资产价格波动率等因素。

import numpy as np

def binomial_tree(S, K, T, r, sigma, N, option='call'):
    """
    计算欧式期权的二叉树价格。
    S: float, 基础资产当前价格
    K: float, 期权行权价格
    T: float, 期权到期时间（年）
    r: float, 无风险利率
    sigma: float, 基础资产价格波动率
    N: int, 二叉树步数
    option: str, 期权类型（'call' 或 'put'）
    """
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma*np.sqrt(dt))
    d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d) / (u - d)

    # 初始化二叉树
    stock_tree = np.zeros((N+1, N+1))
    option_tree = np.zeros((N+1, N+1))

    for i in range(N+1):
        for j in range(i+1):
            stock_tree[j, i] = S * d**(i-j) * u**j

    # 计算期权价值
    if option == 'call':
        option_tree[:, N] = np.maximum(stock_tree[:, N] - K, 0)
    elif option == 'put':
        option_tree[:, N] = np.maximum(K - stock_tree[:, N], 0)
    else:
        raise ValueError("Invalid option type. Must be 'call' or 'put'.")

    # 向后逐步计算期权价值
    for i in range(N-1, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            option_tree[j, i] = np.exp(-r*dt) * (p*option_tree[j, i+1] + (1-p)*option_tree[j+1, i+1])

    return option_tree[0, 0]

蒙特卡罗模拟模型是一种更为复杂的模型，它使用随机过程来模拟基础资产未来的价格变化。当基础资产价格难以用闭合形式的方程来模拟，或者存在提前行权或美式期权等复杂特征时，蒙特卡罗模拟模型通常会被使用。蒙特卡罗模拟模型也考虑了当前基础资产价格、期权行权价格、到期时间、无风险利率和基础资产价格波动率等因素。

import numpy as np

def monte_carlo(S, K, T, r, sigma, n_simulations, n_steps, option='call'):
    """
    计算欧式期权的蒙特卡罗模拟价格。
    S: float, 基础资产当前价格
    K: float, 期权行权价格
    T: float, 期权到期时间（年）
    r: float, 无风险利率
    sigma: float, 基础资产价格波动率
    n_simulations: int, 模拟次数
    n_steps: int, 模拟步数
    option: str, 期权类型（'call' 或 'put'）
    """
    dt = T / n_steps

    # 模拟基础资产价格路径
    stock_paths = np.zeros((n_simulations, n_steps+1))
    stock_paths[:, 0] = S

    for i in range(n_steps):
        stock_paths[:, i+1] = stock_paths[:, i] * np.exp((r - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*np.random.normal(size=n_simulations))

    # 计算期权价值
    if option == 'call':
        option_values = np.maximum(stock_paths[:, -1] - K, 0)
    elif option == 'put':
        option_values = np.maximum(K - stock_paths[:, -1], 0)
    else:
        raise ValueError("Invalid option type. Must be 'call' or 'put'.")

    # 计算期权价格
    discount_factor = np.exp(-r*T)
    option_price = discount_factor * np.mean(option_values)

    return option_price

总之，期权定价模型是一种数学模型，用于计算期权的理论价值。常用的模型包括 Black-Scholes 模型、二叉树模型和蒙特卡罗模拟模型。期权定价模型是投资者和交易者的重要工具，帮助他们确定期权的公平价格，并做出有根据的交易和对冲策略决策。